Центр тяжести грузопотоков

Как это считается

1. Центр тяжести

Каждый пункт тянет будущий склад к себе тем сильнее, чем больше через него проходит груза. Координаты склада — средние взвешенные:

X = (Q₁·X₁ + Q₂·X₂ + … + Qₙ·Xₙ) / (Q₁ + Q₂ + … + Qₙ)

Y = (Q₁·Y₁ + Q₂·Y₂ + … + Qₙ·Yₙ) / (Q₁ + Q₂ + … + Qₙ)

Здесь Qᵢ — грузооборот пункта (тонн за период), Xᵢ и Yᵢ — его координаты на чертеже. Это и есть тот расчёт, который требуют в большинстве курсовых и контрольных работ. Он выполняется в одно действие, и результат легко проверить вручную.

2. Точка Вебера — настоящий минимум

Здесь начинается то, о чём учебники обычно умалчивают. Центр тяжести не даёт наименьшего пробега. Он минимизирует сумму квадратов расстояний, а перевозчик платит за сами расстояния. Настоящий минимум суммы Q·d называется точкой Вебера, и лежит он в другом месте.

Найти его одной формулой нельзя — только последовательными приближениями. Берём центр тяжести за первое приближение и пересчитываем координаты, поделив вес каждого пункта на расстояние до него: дальние пункты тянут слабее. Повторяем, пока точка не перестанет двигаться. Каждый шаг показывается отдельной строкой, так что видно, как ответ сходится.

На примере Нижегородской области выше расхождение получается заметным: по формуле центра тяжести склад попадает в поле между Дзержинском и Кстовом, а настоящий минимум приходится на Нижний Новгород. Разница — около 29 тысяч тонно-километров, то есть примерно восьмая часть всего пробега.

3. Когда возят по сети, а не по прямой

Оба расчёта выше считают расстояние по прямой. В жизни груз идёт по существующим путям — автодорогам, железнодорожным веткам, водным плечам, — и напрямую между двумя пунктами хода может не быть вовсе. Если нарисовать транспортную сеть, задача меняется: склад имеет смысл ставить только в узле сети — в середине участка он не бывает выгоднее ни при каком расположении пунктов.

Поэтому ответ находится перебором: для каждого узла считается сумма «груз × расстояние по сети», и выбирается наименьшая. Приближений здесь нет вообще — есть таблица, где посчитан каждый узел и видно, с каким отрывом победил выбранный.

Сеть рисуется прямо на чертеже: нажмите «Рисовать сеть» и ведите линии от пункта к пункту. Узлами становятся сами пункты, а строка без грузооборота считается развилкой — через неё идут грузы, но там ничего не грузят. Если участок петляет, впишите его настоящую длину: по прямой она считается только пока вы не сказали иного.

Что обычно требуется в работе

• карта района с координатными осями и масштабом;
• пункты, нанесённые на карту и пронумерованные;
• легенда, объясняющая, что за точки и каков их грузооборот;
• таблица с координатами и произведениями Qᵢ·Xᵢ и Qᵢ·Yᵢ;
• итоговые суммы и деление;
• найденная точка, отмеченная на той же карте.

Всё перечисленное страница выдаёт сразу: чертёж сохраняется картинкой для вставки в документ, таблицы — текстом, который переносится в Word без перенабора.

Частые вопросы

В каких единицах задавать координаты?

В любых, лишь бы одинаковых: клетки тетради, сантиметры чертежа, километры. На ответ выбор не влияет — он получится в тех же единицах. Масштаб нужен только чтобы назвать пробег в тонно-километрах.

Что делать, если возить в одну сторону дороже?

Для этого есть отдельный столбец «тариф» — включается галочкой в блоке «Карта и масштаб». Вес пункта умножается на тариф, и дорогое плечо притягивает склад сильнее. По умолчанию столбец скрыт: он нужен единицам, а место в таблице занимает у всех.

Можно ли подставить широту и долготу?

Напрямую — нельзя, и это частая ошибка. На широте средней полосы России градус долготы почти вдвое короче градуса широты, и ответ уедет вбок. Координаты сначала переводятся в километры. Если вы работаете с настоящей картой, этот пересчёт страница делает сама.

Чем ответ по сети отличается от точки Вебера?

Точка Вебера лежит где угодно на плоскости и считает расстояние по прямой — так возят только по воздуху. Ответ по сети всегда попадает в узел и меряет путь по тому, что построено. Разница между ними и есть цена существующей сети: сервис показывает её отдельной строкой в тонно-километрах.

Откуда берутся настоящие дорожные расстояния?

Если под чертежом настоящая карта, сеть рисовать не нужно: расстояния берутся у дорожного маршрутизатора по данным OpenStreetMap — со всеми объездами, мостами и односторонним движением. Каждое из них можно проверить в любой карте, проложив тот же маршрут.

Считается развозка — путь от склада к пункту. Направление важно: по односторонним дорогам туда и обратно выходит по-разному, и брать среднее значило бы показать число, которое нигде не проверишь.

Дорожная служба открытая и общая, поэтому за раз спрашивается не более сорока пунктов. Если пункт передвинули, взятые раньше расстояния к нему больше не относятся — сервис объявляет их негодными и просит взять заново, а не считает молча по устаревшим.

Обязательно ли это автомобильные дороги?

Нет. Когда сеть рисуют руками, её участком может быть автодорога, железнодорожная ветка, водное плечо или трубопровод — расчёту всё равно, он знает только длину участка. Поэтому сеть и названа транспортной, а не дорожной: в одной схеме можно смешивать виды транспорта. Автоматически же берутся именно автомобильные дороги.

Это точно бесплатно?

Да, целиком и без регистрации. Платный на этом сайте только расчёт расстояний по внутренним водным путям — там за справочником стоят оцифрованные архивы ВГУВТ.